無線関連の製品を扱っていると、よく耳にするのが「どの位の距離まで使えるの?」という質問です。今回のシリーズではこの「無線と距離」について、基本原理から順を追って解説してゆきたいと思います。

フリスの公式

 無線LANは電波(電磁波)を用いた通信システムです。電磁波が空間を伝わる理屈はマクスウェルの電磁方程式で記述されますが、あまりにも難しくなりすぎるのでここでは扱いません。距離と電波強度の関係は、マクスウェル方程式から導出されたフリス(Friis)の伝達公式という方程式で記述されます。ここではフリス公式を土台として、無線LANの通信距離限界について代数的に算出してみます。

 まず、フリス公式の基本形を式(1)に示します。これは要するに、受信側の電力は送信側の電力とアンテナの性能(利得)に比例し、通信距離の二乗・波長の逆2乗に反比例するという式です。パワーが大きかったりアンテナの性能が良かったりするほど好調な通信が期待でき、距離が延びるほど通信条件は劣化してゆくという、いわば当たり前のことを示しています。

式(1) Friis 公式の基本形

 これを変形して、送信電力に対する受信電力比の形にしたものを式(2)に示します。ここで(λ/4πD)2の部分も利得の一種(GF)だと見なすこともでき、しかしこの部分は利得ではなく損失なので GF=1/LB と見なせば式(3)が導出されます。

式(2) Friis 公式を送受信電力比で表現したもの
式(3) Friis 公式から損失LBのみを取りだしたもの

 これまでの式では、利得や損失は1次係数(倍数)として表現していました。しかし通信の世界では一般に常用対数表記であるデシベルを使います。式(3)をデシベル表記にすると式(4)を得ます。ここでさらに、距離に関係のない部分(4π/λ)と距離に関係する部分(D)を分離すると式(5)を得ることができます。

式(4) 損失を対数表現したもの
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式(5) 損失を波長λと距離Dに関する式に分解したもの

 ここまで紹介してきたモデルでは、電波は障害物のない真空中を球状に拡散しながら広がってゆくことが想定されています。しかし宇宙空間でないかぎり、実際の通信環境には反射物もあれば障害物もあります。これを正確にモデル化するのは難しいのですが、簡易な近似式として式(5)の右側に係数を置くことが行われます(式(6))。

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式(6)空間伝達係数を置いた近似式

 この空間伝搬係数nは無次元数で、n=2.0だと障害物のない理想空間、n<2.0ならば電波が反射しながら伝達してゆくモデル(導波管など)、n>2.0は障害物に吸収され減衰しながら伝搬してゆく様子を表わしています。

   さて「通信可能な距離」とは、「受信に必要なエネルギー」を「伝達に伴う損失エネルギー」が超える限界の距離ということになります。損失が受信の限界電力PR以上を超える状態は、以下の式を満足する必要があります。

PR ≦ (PTGTGR)/LB
式(7) 伝達限界を定める不等式

PR:限界受信電力
PT:送信電力
GT:送信利得(倍)
GR:受信利得(倍)
LB:伝達損失(倍)

 LBを左辺に出すと

LB ≦ (PTGTGR)/PR
式(7-2) LBを左辺に出した伝達限界を定める不等式

 となり、これをdBで表現すると

LB (dB) ≦ PT (dB) + GT (dB)+Gr (dB) -PR (dB)
式(8) 伝達限界を定める不等式(対数表現)

 となります。与えられた条件における最大通信距離は、通信エネルギーが伝達損失と一致する限界点となります。すなわち、送受信電力+送受信アンテナ利得の総和が伝達損失と一致する距離を求めれば理論上最大通信距離が算出できます。この許容伝達損失上限を LP, それに応じた理論上最大通信距離をdと置くと、式 (6) および式 (8) から

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式(9) 伝達限界を求める方程式

 と書き替えることができます。これをさらに変形し、左辺に距離が出るようにしたものが式(10)です。この近似式を用いることで、与えられた条件(波長、送信出力、受信感度、送信/受信系の利得/損失、空間伝達係数)における通信限界条件を推算することができます。

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式(10) 伝達限界を求める方程式(距離算出)